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穿越11年的数学长跑:寻找那颗最完美的“鹅卵石”
2020-11-16 09:30:09   来源:新华每日电讯

王兵教授解释“哈密尔顿—田”猜想的大致原理。记者 陈诺摄

  “著名学者弗里曼·戴森说,有些数学家是鸟,有些是青蛙。飞鸟可以俯瞰延伸至遥远地平线的数学远景,青蛙则乐于深入探讨特定问题的细节。至于我们,就像是池塘边碰巧发现美丽花朵的青蛙。”

  近期,中国科学技术大学教授陈秀雄、王兵取得重大突破,证明了“哈密尔顿—田”和“偏零阶估计”这两个国际数学界20多年悬而未决的核心猜想。面对如潮赞誉,他们这样说。

  能完全看懂的“不到10人”

  陈秀雄、王兵的论文,发表于国际顶级数学期刊《微分几何学杂志》。

  学术界有人说,这篇长达123页的论文,全世界能完全看懂的估计“不到10人”。“确认过眼神,我是看不懂的人。”网友的态度真实而可爱。有科普作家说,“这是最难进行的一次科普。”

  那么,他们到底证明了什么?

  “我们在沙滩上看到的鹅卵石大多是圆润的,它一开始可能有棱有角,但随着时空流转、潮起潮落,形状会越来越接近完美、标准。然而即便再完美的演化,鹅卵石也可能包含一些异变之处,几何上称为‘奇点’。简单来说,‘哈密尔顿—田猜想’即猜测大多数地方都是完美的,而‘奇点’的大小是可控的,被限制在一个低维空间。”陈秀雄说,他和王兵,就是在数学上严格证明了这个猜想,并以此为基础证明了分析领域的“偏零阶估计猜想”。

  数学猜想,是关于某个自然现象或理论的猜测、假设,如果被数学方法证明为正确的,就成为定理;证明为错误的则抛弃。

  “提出猜想——证明或证伪,再提出猜想——再证明或证伪……日日新,又日新,这就是数学发展的路径。”王兵说,“这也是人类对自然认知不断加深的过程。”

  微分几何学是研究空间几何的学问,在这个领域,出现过欧拉、高斯、黎曼等伟大的名字。大到宇宙膨胀,小到热胀冷缩,诸多自然现象都可以归结到空间演化。“哈密尔顿—田猜想”和“偏零阶估计猜想”提出于20世纪90年代,属于数学界的核心猜想。

  “鹅卵石会越变越完美,几何结构会变成一个期待的形状。我们把自然现象用数学工具做了证明。”陈秀雄说。

  可能100年后才有用

  “这两个猜想有什么用?”在一些网站上,这是个热点话题。有学术界网友认为,应该更长远地看待这个问题,现在前沿的数学成果,“可能100年后才有用”。

  “跟随自己的内心,好奇心驱动我们的研究。”陈秀雄说,基础研究一般不直接着眼于应用,但社会发展证明了基础研究的作用。

  微分几何学起源于17世纪,对物理学、天文学、工程学等发展产生了巨大推动作用,广义相对论、量子场论等都依赖微分几何作为数学基础。

  对人工智能、机器人、VR(虚拟现实)等现代技术,微分几何同样不可或缺。比如电影、游戏特效依靠计算机图形学,微分几何学就是其基础。

  “人工智能是对真实世界的有效逼近。比如自动驾驶技术,可以把前20年所有的车祸信息都录入数据库,但世界是向前发展的,如何应对并避开新情况下的车祸?”陈秀雄说,这个问题或许可以用微分几何的思想解决,对未来可能出现的车祸进行“猜想”,从而提前规避。

  在黑屋子里“找门”

  研究猜想用了5年,论文篇幅长达123页,发表出来又花了6年……相比猜想本身,这些数字背后的故事同样引人遐思。

  11年前,当27岁的美国普林斯顿大学博士后王兵提出主攻“哈密尔顿—田猜想”时,他的导师陈秀雄吃了一惊。3年的博士后,做出科研成果才能申请正式教职。但以这个猜想的难度,3年几无可能,甚至可能会被“卡住”“迷失”,毁掉学术生涯。

  “导师担心我把自己置于危险境地。”王兵说,也想先做点容易的研究,但发现做不到,“做别的什么都沉不下来,茶不思、饭不想,成天想着这个事。”

  数学之美让来自中科大少年班的王兵痴迷,这已非一天两天。2003年,俄罗斯学者格里高里·佩雷尔曼历经8年,证明了著名的庞加莱猜想。

  “要说好在哪里,说不出来,就像王维的诗,你能说清楚美在哪里?我就是着迷。”王兵说,佩雷尔曼突破的更大意义在于,打开了一个宏大瑰丽的科研“宝藏”入口,让全球的青年数学粉丝为之痴狂。

  整整啃了两年,王兵读懂了佩雷尔曼的3篇雄文,还发现了其中一个错漏,佩雷尔曼很快回信表示认可。

  但“哈密尔顿—田猜想”之难远超想象。“2012年3月我在夏威夷开会,看着窗外美景,忽然想起来,我们的论证有个漏洞。这意味着干了两年多的研究要推倒重来,写了五十多页的论文要从零开始。”王兵说,这种大错误犯过两次,小的不计其数。

  “证明未知的猜想,就像在一个方圆1平方公里的黑屋子里找路,没有任何光亮,但你要在1个小时内找到唯一一扇能出去的门。”陈秀雄说,最有效的方式是朝着一个方向走,但人往往走了不久就开始嘀咕:万一方向不对呢?

  “所以,好的数学一定是发自内心的,你很喜欢,相信它是对的。”研究了30多年数学的陈秀雄说。

  论文长,解释更长

  2014年初夏,历经5年苦斗,他们终于完成了猜想的证明,并将成果预印本张贴到学术网站,引起行业内不小的震动。

  为了将证明完整呈现,王兵将论文投稿到一家知名数学期刊,不料却开启了另一段长征。

  猜想证明中有很多新概念、新方法,这家期刊的匿名审稿人不断提出疑问,他们就不断回复解释。两年间,回复多达十几次,回复内容累积近200页,比原文还长。

  就在他们以为都解释清楚了,却收到了拒稿信,审稿人含糊地表示,仍对部分解释不满意。

  但同时,学术网站上却出现了另一篇立意相近、结构类似的论文。作者是一名欧洲人,他的论文架构基于陈秀雄、王兵论文的关键想法,却宣称自己证明了“哈密尔顿—田猜想”。

  多年成果可能会被抢走,陈秀雄和王兵将文章分成两部分,分别投稿给不同的学术杂志,都在2017年年底被接受。由于杂志排期原因,2017年和今年,他们103页的论文前半部分和123页的后半部分,分别得以发表。

  而那位欧洲学者在正式发表的论文中,也明确注明陈秀雄、王兵已经先行证明了“哈密尔顿—田猜想”。至此,争议尘埃落定。

  《微分几何学杂志》审稿人评论认为,陈秀雄、王兵的论文是几何分析领域的重大进展,将激发诸多相关研究。菲尔兹奖获得者西蒙·唐纳森称赞说,这是“几何领域近年来的重大突破”。

  此时,距离他们启动研究,已过去了11年。

  回国,这里有最好的学生

  走进王兵的办公室,最引人注目的是一个大黑板,几乎占据纵向一面墙。“我还嫌不够大,写几步就没地方了。”在王兵看来,数学是长跑是积累,“不写在黑板上,想的东西可能是错的。”

  2018年,已在美国获得终身教职的王兵与夫人一起回国,一是为了“归属感”,二是因为“这里有最好的学生”。

  在正常教学之外,王兵创办了一个“讨论班”,每周一三开课,20多个学生中部分来自本校,更多是天南海北慕名而来的“数学门徒”。

  21岁的徐钰伦是来自复旦大学数学系的“学霸”,4个月前来到合肥,租住在中科大学校旁的一间公寓。

  一间教室、一块黑板,每次围绕一篇论文,一人上台讲,大家台下听。徐钰伦说,当学生在台上讲不下去了,王兵就会从凳子上“跳”到讲台上,拿起粉笔与大家一起向下推导。“大家欢笑着讨论数学,非常纯净。我觉得,这就是数学爱好者的天堂。”

  来自辽宁的一位中科院博士生说,当读懂一篇论文、解决一个难题,有些洋洋得意,王老师会告诉他,“提问题比解决问题更重要”“数学的边界是越来越大的”。

  “上士闻道,勤而行之;中士闻道,若存若亡;下士闻道,大笑之。”21岁的赵新锐说,自己在讨论班上记得最清楚的,是导师引用《道德经》里的这段话,“这是数学研究的境界和旨趣所在。”

  留下新的“鹅卵石”

  “现在的学生,比我当年在中科大读书时的水平高得多,一些本科生已经达到了国外名校研究生水平。”王兵说,数学强调一代代人的积累,不仅是一个人,而是一个大学、一个国家的事,他看好中国数学的前景。

  对证明猜想所引起的巨大社会反响,陈秀雄和王兵都“出乎意料”。“我很高兴,希望能吸引更多的年轻人来研究基础学科,不仅是数学,还有物理、化学……基础性的工作需要有人做。”陈秀雄说。

  “论文发表以后,我收到很多邮件,大多是要论文,不少人表达对数学的仰慕,还有人自称是‘被金融耽误的数学爱好者’。”王兵说,中国日渐强大,需要更多优秀的年轻人进来,夯实国家的数学之基。

  在佩雷尔曼证明庞加莱猜想的论文中,留下了一段话:下一步,准备研究“哈密尔顿—田猜想”。

  “这个指引,是我们研究这一猜想的原因。”王兵说,如果证明“哈密尔顿—田猜想”是寻找“最完美的鹅卵石”,在他俩那篇论文和以后的其他论文中,他们也留下了新的方向、新的线索。如同新的“鹅卵石”,这是数学界的传承,也是指向未来的路标。(记者徐海涛、陈诺)

【编辑】:石卿
【责任编辑】:石卿
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